Noções de conjunto
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Conjuntos parte I
Este artigo e o a ser publicado – Parte II – se propõem a apresentar as principais propriedades da Teoria dos Conjuntos, que tem sua origem nos trabalhos do Matemático russo Georg Ferdinand Ludwig Phillipp Cantor, nascido em S. Petersburgo (1845-1918), e são decorrência de três axiomas ou noções primitivas – noções cuja verdade é de si evidente:
a) Conjuntos
A noção de conjunto em Matemática é praticamente a mesma utilizada na linguagem cotidiana: agrupamento, classe, coleção. Por exemplo:
- Conjunto das letras maiúsculas do alfabeto;
- Conjunto dos números inteiros pares;
- Conjunto dos dias da semana;
- Conjunto dos Presidentes da República do Brasil.
Cada membro ou objeto que entra na formação do conjunto. Assim:
- V, I, C, H, E são elementos do primeiro conjunto acima;
- 2, 4, 6 são elementos do segundo;
- Sábado, Domingo do terceiro; e
- FHC, Lula do último.
Por exemplo, V é um elemento do conjunto das letras maiúsculas do alfabeto, ou seja, V pertence àquele conjunto. Enquanto que v não pertence.
Como se vê são conceitos intuitivos e que se supõe sejam entendidos (evidentes) por todos.
Notação
Conjunto: Representado, de forma geral, por uma letra maiúscula A, B, C, …Elemento: Por uma letra minúscula a, b, c, x, y, z, …
Pertinência: Sejam A um conjunto e x um elemento. Se x é um elemento de A (ou x pertence a A) indicamos por:
Caso contrário, ou seja, se x não é um elemento de A (ou x não pertence a A) escrevemos:
Representações de Conjuntos
a) Extensão ou EnumeraçãoQuando o conjunto é representado por uma listagem ou enumeração de seus elementos. Devem ser escritos entre chaves e separados por vírgula ou ponto-e-vírgula.
Exemplos:
- Conjunto dos nomes de meus filhos: {Larissa, Júnior, Thiago, Juliana, Fabiana};
- Conjunto dos meses com menos de 31 dias: {fevereiro, abril, junho, setembro, novembro};
- Conjunto dos números pares inteiros maiores do que 8 e menores do que 22: {10; 12; 14; 16; 18; 20}.
- Na representação por extensão cada elemento deve ser escrito apenas uma vez;
- É uma boa prática adotar a separação dos elementos em conjuntos numéricos como sendo o ponto-e-vírgula, para evitar confusões com as casas decimais: {2;3;4} e {2,3;4};
- Esta representação pode, também, ser adotada para conjuntos infinitos em que se evidencia a lei de formação de seus elementos e colocando-se reticências no final: {2, 4, 6, 8, 10, …};
- Representação semelhante pode ser adotada para conjuntos finitos com um grande número de elementos: {0, 1, 2, 3, …, 100}.
Representação em que o conjunto é descrito por uma propriedade característica comum a todos os seus elementos. Simbolicamente:
A = {x | x tem a Propriedade P}
e lê-se: A é o conjunto dos elementos x tal que (|) x tem a propriedade P.Exemplos:
- A = {x | x é um time de futebol do Campeonato Brasileiro de 2006};
- B = {x | x é um número inteiro par e 8 < x < 22}. Último exemplo do item a) acima;
- C = {x | x é um deputado federal eleito em 2006}.
Um conjunto pode ser representado por meio de uma linha fechada e não entrelaçada, como mostrado na figura abaixo. Os pontos dentro da linha fechada indicam os elementos do conjunto.
Conjunto Unitário e Conjunto Vazio
Embora o conceito intuitivo de conjunto nos remeta à idéia de pluralidade (coleção de objetos), devemos considerar a existência de conjunto com apenas um elemento, chamados de conjuntos unitários, e o conjunto sem qualquer elemento, chamado de conjunto vazio (Ø).O conjunto vazio é obtido quando descrevemos um conjunto onde a propriedade P é logicamente falsa.
Exemplos de Conjuntos Unitários:
- Conjunto dos meses do ano com menos de 30 dias: {fevereiro};
- Conjunto dos números inteiros maiores do que 10 e menores do que 12: {11};
- Conjunto das vogais da palavra blog: {o}.
- {x | x > 0 e x < 0} = Ø;
- Conjunto dos meses com mais de 31 dias;
- {x | x2 = -1 e x é um número real} = Ø.
Conjunto Universo
É o conjunto ao qual pertencem todos os elementos envolvidos em um determinado assunto ou estudo, e é simbolizado pela letra U.Assim, se procuramos determinar as soluções reais de uma equação do segundo grau, nosso conjunto Universo U é R (conjunto dos números reais); se estamos interessados em determinar os deputados federais envolvidos com o mensalão, nesse caso o universo U tem como elementos todos os deputados federais da atual legislatura.
Portanto, é essencial, que ao descrever um conjunto através de uma propriedade P, fixemos o conjunto universo em que estamos trabalhando, escrevendo:
Igualdade de Conjuntos
Dois conjuntos A e B são iguais quando todo elemento de A pertence a B e, reciprocamente, todo elemento de B pertence a A:- A título de ilustração: O A invertido na expressão acima significa “para todo”;
- {a, b, c, d} = {d, b, a, c}. O que demonstra que a noção de ordem não interfere na igualdade de conjuntos;
- É evidente que para A ser diferente de B é suficiente que um elemento de A não pertença a B ou vice-versa: A = {a, b, c} é diferente de B = {a, b, c, d}.
Subconjunto
Um conjunto A é um subconjunto de (está contido em) B se, e sómente se, todo elemento x pertencente a A também pertence a B:- {1; 2; 3} C {1; 2; 3; 4; 5; 6}
- Ø C {a, b};
- {a, b} C {a, b};
- {a, b, c} ¢ {a, c, d, e}, onde ¢ significa “não está contido”, uma vez que o elemento b do primeiro conjunto não pertence ao segundo.
Propriedades da Inclusão
Sejam D, E e F três conjuntos quaisquer. Então valem as seguintes propriedades:- Ø C D: O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto;
- D C D: Todo conjunto é subconjunto de si próprio (propriedade Reflexiva);
- D C E e E C D => D = E: veja acima (propriedade Anti-Simétrica);
- D C E e E C F => D C F: Se um conjunto é subconjunto de um outro e este é subconjunto de um terceiro, então o primeiro é subconjunto do terceiro (propriedade Transitiva).
Partimos da tese de que se o conjunto vazio não é um subconjunto de D, então é necessário que pelo menos um elemento desse conjunto não esteja contido no conjunto D. Como o conjunto vazio não possui nenhum elemento, a sentença Ø ¢ D é sempre falsa. Logo, o conjunto vazio está contido em D é sempre verdadeira.
Conjunto das Partes
Chama-se Conjunto das Partes de um conjunto E – P(E) – o conjunto formado por todos os subconjuntos de E:- Se A = {a, b, c}, então P(A) = {Ø, {a}, {b}, {c}. {a.b}, {a.c}. {b,c}, {a,b,c}}
- Se B = {a, b}, então P(B) = {Ø, {a}, {b}, {a,b}};
- Se C = {a}, então P(C) = {Ø, {a}}.
- Enfatizo, apesar de colocado na própria definição, que os elementos de P(E) são conjuntos;
- Assim, deve-se ter atenção quanto ao emprego dos símbolos pertence (não pertence) e contido (não contido);
- No primeiro exemplo acima: {a} pertence a P(A) e {{a}} é um subconjunto de P(A);
- Se definirmos n(E) como sendo o número de elementos do conjunto E, então n(P(E)) = 2n(E). A propriedade é válida para conjuntos finitos;
- Veja nos exemplos: n(A) = 3 e n(P(A)) = 8 = 23, n(B) = 2 e n(P(B)) = 4 = 22 e n(C) = 1 e n(P(C)) = 2 = 21.
Por enquanto é só. Aguardem o próximo artigo. Enquanto isto dê a sua opinião nos comentários, ela é muito importante.
Referências
- Fundamentos de Matemática Elementar, Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce & Carlos Murakami, São Paulo, Atual Editora Ltda, edição 1977;
- Matemática para o Ensino Médio: Volume Único, Manoel Jairo Bezerra, São Paulo, Editora Scipione, 2001.
Conjuntos parte II
Em sequência ao artigo Conjuntos: Noções Básicas – Parte I vamos agora abordar as principais operações com conjuntos.
Reunião ou União
Consideremos os dois conjuntos:
A = {b, l, o, g, i, e} e B = {b, v, i, l, c, h, e}
Podemos pensar num novo conjunto C, constituído por aqueles elementos que pertencem a A ou que pertencem a B. No exemplo em questão esse novo conjunto é:
C = {b, l, o, g, v, i, c, h, e}
Repare que o conjunto C foi formado a partir dos conjuntos A e B, onde os elementos repetidos (os que estão em A e em B) foram escritos apenas uma vez, e dizemos que se trata da reunião (ou união) do conjunto A com o conjunto B. A reunião (ou união) de A e de B (ou de A com B) é usualmente representada por A U B. Com esta notação tem-se:
A U B = {b, l, o, g, v, i, c, h, e}
Esse exemplo sugere-nos a seguinte definição geral para a reunião de conjuntos.Definição 1. Dados dois conjuntos quaisquer A e B, chama-se união ou reunião de A e B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a pelo menos um desses conjuntos (podendo, evidentemente, pertencer aos dois), isto é, o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B. Em símbolos:
Exemplos:
- {1; 2} U {3; 4} = {1; 2; 3; 4}
- {n, e, w, t, o, n} U {h, o, r, t, a} = {a, e, h, n, o, r, t, w}
Sejam A, B e C três conjuntos quaisquer. Então são verdadeiras as seguintes propriedades:
- Idempotência: A U A = A -> A união de um conjunto qualquer A com ele mesmo é igual a A;
- Comutativa: A U B = B U A;
- Elemento Neutro: Ø U A = A U Ø = A -> O conjunto Ø é o elemento neutro da união de conjuntos;
- Associativa: (A U B) U C = A U (B U C).
Da definição da união de conjuntos temos:
Como A U B é o conjunto dos elementos de U (universo) que, ou pertencem a A, ou pertencem a B e B U A é o conjunto dos elementos de U que, ou pertencem a B, ou pertencem a A, e as proposições p v q (p ou q) e q v p (q ou p) têm o mesmo valor lógico, concluí-se que a propriedade é verdadeira.
Intersecção
Seja A o conjunto dos eleitores que votaram em Lula para Presidente e B o conjunto dos eleitores que votaram em Arlete para Governadora do DF, no primeiro turno das eleições de 2006. É certo supor que houve eleitores que votaram simultaneamente nos dois candidatos no primeiro turno. Assim somos levados a definir um novo conjunto, cujos elementos são aqueles que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B. Esse novo conjunto nos leva à seguinte definição geral.Definição 2. Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Chamaremos intersecção de A e de B (ou de A com B) a um novo conjunto, assim definido:
Exemplos:
Da definição de intersecção resulta que:
Os fatos acima nos diz que A intersecção B é um subconjunto de A e de B, ou seja:
Propriedades da Intersecção
Sejam A, B e C três conjuntos quaisquer. Então são verdadeiras as seguintes propriedades:
1. Idempotência:
2. Comutativa:
3. Elemento Neutro – O conjunto universo U é o elemento neutro da intersecção de conjuntos:
4. Associativa:
Demonstração da propriedade associativa:
O conjunto do primeiro membro da igualdade é constituído pelos elementos x pertencentes a U tais que (por definição):
onde na segunda passagem foi utilizada, novamente, a definição de intersecção entre os conjuntos B e C. Tendo em vista que a proposição p ^ (q ^ r) tem o mesmo valor lógico da proposição (p ^ q) ^ r vem que esse conjunto é constituído por elementos de U tais que:
Assim, fica demonstrado que o primeiro conjunto da igualdade está contido no segundo. Para concluir a demonstração, isto é, provar que o segundo conjunto está contido no primeiro, é só seguir o caminho inverso
Quando dois conjuntos quaisquer A e B não têm elemento comum, dizemos que A e B são conjuntos disjuntos. Em outras palavras, dois conjuntos são disjuntos quando a intersecção entre eles é igual ao conjunto vazio.
Propriedades da União e Intersecção
Sejam A, B e C três conjuntos quaisquer, então valem as seguintes propriedades que inter-relacionam a união e intersecção de conjuntos:Note que a propriedade 3 é a distributiva da união em relação à intersecção e a 4 a distributiva da intersecção em relação à união.
Diferença
Seja A o conjunto dos eleitores que votaram em Lula para Presidente e B o conjunto dos eleitores que votaram em Arlete para Governadora do DF, no primeiro turno das eleições de 2006. É certo pensar que teve eleitores que votaram em Lula mas não votaram em Arlete. Isto nos leva ao conjunto dos elementos de A que não são elementos de B.Definição 3. Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Chamaremos a diferença entre A e B o conjunto dos elementos de A que não pertencem a B.
Exemplos:
- {a, b, c} – {a, c, d, e, f} = {b}
- {a, b} – {e, f, g, h, i} = {a, b}
- {a, b} – {a, b, c, d, e} = Ø
Note que as propriedades 1. e 2. acima podem ser facilmente visualizadas nesse diagrama.
Complementar de B em A
Definição 4. Dados os conjuntos A e B quaisquer, com B contido em A, chama-se complementar de B em relação a A o conjunto A – B, e indicamos como:Exemplos:
- A = {a, b, c, d, e, f} e B = {a, b} => complementar: A – B = {c, d, e, f}
- A = B = {1} => complementar: A – B = Ø
Propriedades da Complementação
Sendo B e C subconjuntos de A, valem as propriedades a seguir:
Vamos demonstrar apenas a primeira parte da propriedade 1. As demais deixo como exercício, me colocando à disposição para sanar eventuais dúvidas.
Da definição de intersecção de conjuntos e do complementar temos que:
Referências
- Fundamentos de Matemática Elementar, Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce & Carlos Murakami, São Paulo, Atual Editora Ltda, edição 1977;
- Matemática para o Ensino Médio: Volume Único, Manoel Jairo Bezerra, São Paulo, Editora Scipione, 2001.
Exercícios sobre conjuntos
| Exercícios sobre conjuntos |  |  |  |
| Qua, 15 de Setembro de 2010 20:43 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 1) Seja os conjuntos A {-1, 0,1,2,3,4,5,6,7}, B = {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11} e C = {5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18}. Determine: a) A ∩ B ∩ C b) B U (A ∩ D) c) (A - B) ∩ (C - A) d) (A U B) - (C U B) e) A - C f) (B ∩ A) U (A ∩ C) 1.2) Considere a representação dos conjuntos A e B mostrada abaixo:  Pinte em cada caso o que corresponde na figura acima o que é pedido em cada item abaixo. a) A ∩ B b) B U (A ∩ B) c) B - A d) A U B e) A - B 2) Consides os conjuntos A = {x € R / - 2 ≤ x ≤ 8} B = {x € R / x ≤ 13} C = {x € R / x > -3} D = {x € R / 1 ≤ x ≤ 17} Determine o que se pede abaixo: a) A ∩ B ∩ C b) B U (A ∩ D) c) (A - B) ∩ (C - D) d) (A U B) - (C U D) e) A - C f) (B ∩ D) U (A ∩ C) 3) Considere os conjuntos: A = (-2,10], B = [1,11) e C = (-4,10). Determine: a) A ∩ B ∩ C b) B U (A ∩ C) c) (A - B) ∩ (C - D) d) (A U B) - (C U A) e) A - C f) (B ∩ A) U (A ∩ C) 4) Seja o seguinte: N = conjunto dos números naturais, Z = conjunto dos números interos Q = conjunto don números racionais. Calcule: a) N ∩ Z b) Z U (N ∩ Z+) c) Z - N d) Z ∩ Q+ e) N U Z U Q f) (Z - N) U Z- 5) O conjunto A tem 128 subconjuntos e o conjunto B 32 subconjuntos. Determine: a) o número de elementos do conjunto A; b) o número de elementos do conjunto B. 5.2) Dois conjuntos A e B estão representados como mostra a figura e a parte pintada indica uma operação matemática feita nos mesmos.  Ela corresponde a: a) B - A b) (A U B) - B c) (B - A) U (A ∩ B) d) (A - B ) ∩ ( B - A) e) n.d.r 6) Em uma pesquisa feita com 700 pessoas sobre dois jornais, contatou-se que: 250 pessoas leram o jornal A, 350 leram o jornal B e 150 leram os dois jornais. Determine: a) o número de pessoas que leram o jornal A ou o jornal B; b) o o número de pessoas que leram A mas não leram B; c) o número de pessoas que leram somente o jornal A; d) o número de pessoas que leram somente o jornal B; e) o o número de pessoas que leram B mas não leram A; f) o número de pessoas que não leram nenhum dos jornais. Fonte:http://www.nilsong.com/index.php?option=com_content&view=article&id=101:exercicios-sobre-conjuntos&catid=43:resumo-matematica-1&Itemid=84 Exercícios sobre conjuntos Leia o artigo: Conjuntos Numéricos
01. Assinale a FALSA: |
Marcas
|
A
|
B
|
C
|
A e B
|
A e C
|
B e C
|
A, B e C
|
Nenhuma delas
|
Número de Consumidores
|
109
|
203
|
162
|
25
|
28
|
41
|
5
|
115
|
a) 99
b) 94
c) 90
d) 84
e) 79
10. (UF - Viçosa) Fez-se em uma população, uma pesquisa de mercado sobre o consumo de sabão em pó de três marcas distintas A, B e C. Em relação à população consultada e com o auxílio dos resultados da pesquisa
tabelados abaixo:
Marcas
|
A
|
B
|
C
|
A e B
|
A e C
|
B e C
|
A, B e C
|
Nenhuma delas
|
Número de Consumidores
|
109
|
203
|
162
|
25
|
28
|
41
|
5
|
115
|
a) O número de pessoas consultadas.
b) O número de pessoas que não consomem as marcas A ou C.
c) O número de pessoas que consomem pelo menos duas marcas.
d) A porcentagem de pessoas que consomem as marcas A e B mas não consomem a marca C.
e) A porcentagem de pessoas que consomem apenas a marca C.
Fonte:http://www.coladaweb.com/exercicios-resolvidos/exercicios-resolvidos-de-matematica/conjuntos
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Funções 1º grau - Vídeo 1/2
Funções do 1° grau
Função do 1º grau
Vamos iniciar o estudo da função do 1º grau, lembrando o que é uma correspondência:
Correspondência: é qualquer conjunto de pares ordenados onde o primeiro elemento pertence ao primeiro conjunto dado e o segundo elemento pertence ao segundo conjunto dado.
Assim: Dado os conjuntos A={1,2,3} e B={1,2,3,4,5,6} consideremos a correspondência de A em B, de tal modo que cada elemento do conjunto A se associa no conjunto B com o seu sucessor. Assim
; 
; 
. A correspondência por pares ordenados seria:
Noções de função:
Considere os diagramas
abaixo:
1
 |
2
 | |||||
3
 |
4
 | |||||
5
 |
|
Analisando os diagramas
acima:
O diagrama 1 não satisfaz a condição
(1); os diagramas 3, 4 e 5 não satisfazem a condição (2).
Logo, somente o diagrama 2 representa
uma função.
Domínio, Contradomínio e
Imagem
Observe o diagrama a seguir:
|
Chamemos esta função de f, logo o conjunto de pares ordenados serão:
f={(1,2),(2,3),(3,4)}
O conjunto X={1,2,3} denomina-se
domínio da função f.
D(F)=X
O conjunto Y={1,2,3,4,5} denomina-se contradomínio da função f.
C(F)=Y
Dizemos que 2 é a imagem de 1 pela
função f.
f(1)=2
Ainda, f(2)=3 e f(3)=4.
Logo o conjunto das imagens de f
e dado por:
Im(f)={2,3,4}
Determinação de
função:
Observe:
1) Associe cada elemento de X com o seu
consecutivo:
|
2) Associe cada elemento de X com a sua capital.
 |
3) Determine o conjunto imagem de cada função:
a) D(f) = {1,2,3}
y = f(x) = x + 1
[Sol] f(1) = 1+1 = 2
f(2) = 2+1 = 3
f(3) =3+1 = 4
Logo: Im(f)={2,3,4}
b) D(f) = {1,3,5}
y = f(x) = x²
[Sol] f(1) = 1² = 1
f(3) = 3² = 9
f(5) = 5² = 25
Logo: Im(f)={1,9,25}
Plano cartesiano
Consideremos dois eixos x e y
perpendiculares em 0, os quais determinam o plano A.
Dado um plano P qualquer, pertencente ao plano A, conduzamos por ele duas retas:
x // x' e y // y'
Denominemos P1 a interseção de x com y' e P2 a interseção de y com x'
Dado um plano P qualquer, pertencente ao plano A, conduzamos por ele duas retas:
x // x' e y // y'
Denominemos P1 a interseção de x com y' e P2 a interseção de y com x'
Nessas condições, definimos:
- Abscissa de P é um número real representado por P1
- Ordenada de P é um número real representado por P2
- A coordenada de P são números reais x' e y' , geralmente indicados na forma de par ordenado ( x' , y' )
- O eixo das abscissas é o eixo x
- O eixo das ordenadas é o eixo y
- A origem do sistema é o ponto 0
- Plano cartesiano é o plano A.
- Abscissa de P é um número real representado por P1
- Ordenada de P é um número real representado por P2
- A coordenada de P são números reais x' e y' , geralmente indicados na forma de par ordenado ( x' , y' )
- O eixo das abscissas é o eixo x
- O eixo das ordenadas é o eixo y
- A origem do sistema é o ponto 0
- Plano cartesiano é o plano A.
Depois desta revisão, vamos finalmente ver a Função do 1º grau!
Exemplo:
Numa loja, o salário fixo mensal de um vendedor é 500 reais. Além disso, ele recebe de comissão 50 reais por produto vendido.
a) Escreva uma equação que expresse o ganho mensal y desse vendedor, em função do número x de produto vendido.
[Sol] y=salário fixo + comissão
y=500 + 50x
b) Quanto ele ganhará no final do mês se vendeu 4 produtos?
[Sol] y=500+50x , onde x=4
y=500+50.4 = 500+200 = 700
c) Quantos produtos ele vendeu se no final do mês recebeu 1000 reais?
[Sol] y=500+50x , onde y=1000
1000=500+50x » 50x=1000-500 » 50x=500 » x=10
A relação assim definida por uma equação do 1º grau é denominada função do 1º grau, sendo dada por:
y=f(x)=ax+b com
 ,  e  |
Gráfico da função do 1º
grau:
O gráfico de uma função do 1º grau de
R em R é uma reta.
|
Exemplo:
1) Construa o gráfico da função determinada por f(x)=x+1:
[Sol] Atribuindo valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes para y.
|
O conjunto dos pares ordenados determinados é
f={(-2,-1),(-1,0),(0,1),(1,2),(2,3)}
|
2) Construa o gráfico da função determinada por f(x)=-x+1.
[Sol] Atribuindo valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes para y.
|
O conjunto dos pares ordenados determinados é
f={(-2,3),(-1,2),(0,1),(1,0),(2,-1)}
|
Gráficos crescente e decrescente respectivamente:
y = x+1 ( a> 0 ) ; onde a =
1
|
 |
Função
crescente
|
y = -x+1 ( a<0 ); onde
a=-1
|
 |
Função
decrescente
|
Raiz ou zero da função do 1º grau:
|
1) Considere a função dada pela equação y=x+1, determine a raiz desta função.
[Sol] Basta determinar o valor de x para
termos y=0
x+1=0 » x=-1
Dizemos que -1 é a raiz ou zero da
função.
|
Note que o gráfico da função y=x+1, interceptará (cortará) o eixo x em -1, que é a raiz da função.
2) Determine a raiz da função y=-x+1 e esboce o gráfico.
[Sol] Fazendo y=0, temos:
0 = -x+1 » x = 1
Gráfico:
|
Note que o gráfico da função y=-x+1, interceptará (cortará) o eixo x em 1, que é a raiz da função.
Sinal de uma função de 1º
grau:
Observe os gráficos:
 |
 |
a>0
|
a<0
|
Note que para x=-b/a, f(x)=0 (zero da função). Para x>-b/a, f(x) tem o mesmo sinal de a. Para x<-b/a, f(x) tem o sinal contrário ao de a.
Exemplos:
1) Determine o intervalo das seguintes funções para que f(x)>0 e f(x)<0.
a) y=f(x)=x+1
[Sol] x+1>0 » x>-1
Logo, f(x) será maior que 0 quando x>-1
x+1<0 » x<-1
Logo, f(x) será menor que 0 quando x<-1
b) y=f(x)=-x+1
[Sol]* -x+1>0 » -x>-1 » x<1
Logo, f(x) será maior que 0 quando x<1
-x+1<0 » -x<-1 » x>1
Logo, f(x) será menor que 0 quando x>1
(*ao multiplicar por -1, inverte-se o sinal da desigualdade)
Exercícios sobre funções 1 grau
FUNÇÃO DO 1º GRAU
I) EXERCÍCIOS GERAIS
1) Identifique quais das funções abaixo são do 1º grau:
a) f(x) = 10x - 12 b) f(x) = 1/x +8
c) q(x) = 9t + 3 d) f(x) = 4x2 +3x -16
e) f(x) = 5x +3x4 f) f(x) = 5x-1 +14x
2) Especifique os coeficientes angulares e lineares das funções:
a) y = 3x + 81 b) f(x) = -10 +11x
c) f(x) = -2x + 13 d) f(x) = 7x
e) h(x) = -3 +4x f) g(x) = -6x +12
3) Temos uma função f: R → R cujo gráfico é mostrado abaixo.
Determine o que se pede:
a) f(5)
b) x tal que f(x) = 51
c) a raíz
d) f -1 (4)
e) f(f(x))
f) os coeficientes angular e linear.
4) Classifique as funções como crescente, decrescente ou constante:
a) y = 3x + 8 b) f(x) = -10 +6x
c) f(x) = -2x + 9 d) f(x) = 7
e) h(x) = -3 +7x f) g(x) = -6x +18
5) Classifique as funções como afim, linear, identidade ou constante:
a) f(x) - 2x + 8 b) f(x) = 3x
c) f(x) = x d) f(x) = -4x + 9
e) f(x) = 12 f) f(x) = -17x
g) f(x) = -3 h) f(x) = 8 + 5x
6) Calcule a raiz ou zero das funções:
a) f(x) = 3x + 12 b) f(x) = -10 +60x
c) f(x) = -2x + 9 d) f(x) = 7x -28
e) h(x) = -35 +7x f) g(x) = -6x +18
7) Temos uma função f: R → R cujo gráfico é mostrado abaixo
Determine o que se pede:
a) f(3)
b) x tal que f(x) = - 40
c) a raíz
d) f -1 (8)
e) f(f(x))
f) os coeficientes angular e linear.
8) faça o gráfico das funções abaixo:
a) f(x) = 3x + 12 b) f(x) = -2x +6
c) f(x) = -2x + 9 d) f(x) = 3x -12
e) h(x) = -5 +2x f) g(x) = -6x +18
9) Dadas as funções, f(x) = 2x +12, g(x) = -2x +5, h(x-3) = 3x + 1
e p(3x + 7) = -4x +11, calcule:
a) f(3) b) f(-5)
c) g(10) d) f(-1) + g(2)
e) h(8) f) g(4) + h(-1)
g) g(3) + p(-5) f(2)
10) Se os pontos A(2,5) B(3,7) pertencem ao gráfico da função f(x) = ax + b,
calcule:
a) f(3)
b) f(-3) + f-1(-2)
c) x, tal qie f(x) = 10
d) x, tal que f(2x-12) = 20
11) Estude o sinal das funções:
a) f(x) = 3x + 12 b) f(x) = -2x +6
c) f(x) = -2x + 9 d) f(x) = 3x -12
e) h(x) = -5 +2x f) g(x) = -6x +18
12) Calcule o zero e faça o gráfico das funções:
a) f(x) = 3(2x + 12) + 3(x - 8) b) f(x) = -2(x +6) + 3(5x +8)
c) f(x) = -2(x + 9) - 9(3-2x) d) f(x) = 3(2x -12) + 5(1 +2x)
e) h(x) = -5(2 +2x) - 7(-x + 5) f) g(x) = -6(x +1) +-4(-2 -3x)
II) PROBLEMAS SOBRE FUNÇÕES DO 1º GRAU
13) Um carro que atualmente custa 50.000,00 reais, sofre uma desvalorização linear de 5000,00 reais por ano. Determine:
a) o preço do carro daqui a 8 anos; (resp.; 10.000 reais)
b) o tempo decorrido para que o preço do mesmo seja de 30.000,00 reais. (resp.: 4 anos)
14) O preço atual de um terreno é de 30.000,00 reais e sofre uma valorização constante. Em 10 anos o seu preço é de 50.000,00 reais. Calcule:
a) o preço do terreno daqui a 3 anos;
b) o tempo decorrido para que o terreno valha 80.000,00 reais
13) Há algumas plantas que podem ser plantadas através de ramos (chamados de mudas) ao invés de ser plantadas por sementes. Admita que um ramo de 2 m foi plantado e que cresce constantemente a 40 cm/ano. Calcule:
a) a altura dessa árvore em 5 anos; (resp.: 4m)
b) o tempo em que a altura da árvore é de 2,5m. (resp.: 1 ano e 3 meses)
14) Uma operadora A de telefonia cobra um valor fixo mensal de 40,00 reais por um serviço de assinatura acrescido de 0,12 reais por cada minuto de ligação e uma outra operadora B, do mesmo servoço, cobra 60,00 reais de um valor fixo mensal, mais 0,08 reais por minuto de ligação. Determine:
a) o valor pago por um cliente de cada operadora se estes ligarem 240 minutos;
b) o tempo de ligação para o cliente da operadora A tenha vantagem financeira em relação ao cliente da operadora B.
Fonte:http://www.nilsong.com/index.php?option=com_content&view=article&id=49:exercicios-de-funcao-do-1o-grau&catid=43:resumo-matematica-1&Itemid=84
Videos funções 2º grau
Funções do 2º grau
Equação do 2º grau
Denomina-se equação do segundo grau, toda a equação do tipo ax²+bx+c, com coeficientes numéricos a.b e c com
. Exemplos:
| Equação | a | b | c |
| x²+2x+1 | 1 | 2 | 1 |
| 5x-2x²-1 | -2 | 5 | -1 |
Classificação:
- Incompletas: Se um dos coeficientes ( b ou c ) for nulo, temos uma equação do 2º grau incompleta.
1º caso: b=0
Considere a equação do 2º grau imcompleta:
x²-9=0 » x²=9 » x=
» x= 
2º caso: c=0
Considere a equação do 2º grau imcompleta:
x²-9x=0 » Basta fatorar o fator comum x
x(x-9)=0 » x=0,9
3º caso: b=c=0
2x²=0 » x=0
Resolução de equações do 2º
grau:
A resolução de equações do 2º grau incompletas já foi explicada acima, vamos agora resolver equações do 2º grau completas, ou seja, do tipo ax²+bx+c=0 com a, b e c diferentes de zero.
- Uma equação do 2º grau pode ter até 2 raízes reais, que podem ser determinadas pela fórmula de Bháskara.
Como Bháskara chegou até a fórmula de resolução de equações do 2º grau?
Considerando a equação: ax²+bx+c=0, vamos determinar a fórmula de Bháskara:
Multiplicamos os dois membros por 4a:
4a²x²+4abx+4ac=0
4a²x²+4abx=-4ac
Somamos b² aos dois membros:
4a²x²+4abx=-4ac
Somamos b² aos dois membros:
4a²x²+4abx+b²=b²-4ac
Fatoramos o lado esquedo e chamamos de
(delta)b²-4ac:
(2ax+b)²=
2ax+b=
2ax=-b
Logo:
ou 
Fórmula de
Bháskara:
 |
 |
Utilizando a fórmula de Bháskara, vamos resolver alguns exercícios:
1) 3x²-7x+2=0
a=3, b=-7 e c=2
= (-7)²-4.3.2 = 49-24 = 25 Substituindo na fórmula:
= 
e 
Logo, o conjunto verdade ou solução da equação é:
2) -x²+4x-4=0
a=-1, b=4 e c=-4
= 4²-4.-1.-4 = 16-16 = 0 Sustituindo na fórmual de Bháskara:
» x=2 
- Neste caso, tivemos uma equação do 2º grau com duas raízes reais e iguais. (
) 3) 5x²-6x+5=0
a=5 b=-6 c=5
= (-6)²-4.5.5 = 36-100 = -64 Note que
<0 e não existe raiz quadrada de um número negativo. Assim, a equação não
possui nenhuma raiz real.Logo:
» vazio
Propriedades:
 |
Duas raízes reais e diferentes |
 |
Duas raízes reais e iguais |
 |
Nenhuma raiz real |
Relações entre coeficientes e raízes
 |
 |
Vamos provar as relações descritas acima:
Dado a equação ax²+bx+c=0, com
e 
, suas raízes são: 
e 
A soma das
raízes será:
Logo, a soma das raízes de uma equação
do 2º grau é dada por: 
O produto das raízes será:
Logo, o produto das raízes de uma
equação do 2º grau é dada por:
Podemos através da equação ax²+bx+c=0,
dividir por a.
Obtendo: 
Substituindo por 
e 
:
e :
Obtendo a Soma e Produto de uma
equação do 2º grau:
x² - Sx + P =
0
|
Exemplos:
1) Determine a soma e o produto das seguintes equações:
a) x² - 4x + 3=0
[Sol] Sendo a=1, b=-4 e c=3:
b) 2x² - 6x -8 =0
Sendo a=2, b=-6 e c=-8
c) 4-x² = 0
Sendo a=-1, b=0 e c=4:
Resolução de equações fracionárias
do 2º grau:
Equações fracionárias são as que
possuem incógnitas no denominador e o processo de resolução destas equações é o
mesmo das equações não fracionárias.
Exemplos resolvidos:
a) 
Onde 
, pois senão anularia o denominador
Onde , pois senão anularia o denominador
[Sol] Encontrando o m.m.c dos
denominadores: 2x
Então: 
Eliminando os denominadores, pois eles
são iguais:
» 
Aplicando a fórmula de
Bháskara:
Logo, x = 2 e x` = 4. »
S={2,-4}
b ) 
e 
e
[Sol] m.m.c dos denominadores:
(x-1).(x+2)
Então: 
Eliminando os denominadores:
» 
» 
» 
* Note que a solução da equação deve ser
diferente de 1 e 2 pois senão anularia o denominador, logo a solução da equação
será somente:
x=-1 » S={-1}
Resolução de equações literais do
2º grau:
Equações literais são as que possuem
uma ou mais letras além da incógnita.
| Equação |
a
|
b
|
c
|
| x² - (m+n)x + p = 0 |
1
|
-(m+n)
|
p
|
Exemplo: Determine o valor da incógnita x.
1) x²-3ax+2a²=0
[Sol] Aplicando a fórmula de Bháskara:
a=1, b=-3a, c=2a²
, Logo: x = 2a e x = a » S={a,2a}
Resolução de equações
biquadradas
Equacão biquadrada como o próprio
nome diz, são equações nas quais estão elevadas ao quadrado duas vezes, sua
forma é:
 onde  |
Exemplo resolvido:
1)
Fazendo x² = y , temos
Substituindo os valores na equação, temos:
y² - 5y + 4 = 0
Aplicando Bháskara:
Logo, y = 4 e y`=
1
Voltando a variável
x:
Como y=x², temos:
x²=4 » 
e x²=1 » 
e x²=1 »
Então a solução será »
S={-2,-1,1,2}
ou simplesmente
ou simplesmente
Exercícios de funçõe do 2º grau
FUNÇÃO QUADRÁTICA
1) Identifique as funções abaixo que são do 2º grau:
a) ( ) f(x) = x2 - 4x + 3
b) ( ) f(x) = 2x3 - 4x + 43
c) ( ) f(x) = x-2 - 4x + 3
d) ( ) f(x) = 4x + 3
e) ( ) f(x) = 0x2 - 4x + 3
f) ( ) f(x) = 5x2 - 14x + 20
g) ( ) f(x) = (x + 3)(x-7)
2) Especifique os coeficientes das equações:
a) f(x) = 5x2 - 4x + 10
b) f(x) = x2 - 41x + 3
c) f(x) = 4x2 - 3x -2
d) f(x) = -2x2 - x -8
e) f(x) = -3x2 - 4x + 4
f) f(x) = 9x2 - 2x + 7
g) f(x) = 6x2 - 19
3) calcule as as raízes da equações:
a) f(x) = x2 - 4x + 3
b) f(x) = x2 - 9x + 20
c) f(x) = 4x2 - 3x - 2
d) f(x) = -2x2 - x
e) f(x) = -3x2 + 18
f) f(x) = -x2 + 8x - 12
g) f(x) = x2 - 12x + 36
4) Dada a função f(x) = ax2 + bx + c, representada pelo gráfico abaixo, determine:
a) as raízes
b) as coordenadas do vértice;
c) o conjunto imagem;
d) o valor mínimo;
e) a variação de sinal;
f) f(20);
g) o intervalo que é crescente e decrescente.
5) Faça o gráfico das funções:
a) f(x) = x2 - 4x + 3
b) f(x) = x2 - 9x + 20
c) f(x) = 4x2 - 3x - 2
d) f(x) = -2x2 + 18
e) f(x) = -3x2 + 18
f) f(x) = -x2 + 8x - 12
g) f(x) = x2 + 7
6) Dada a função f(x) = x2 + 3x + 2k, calcule k para que se tenha:
a) duas raízes reais iguais
b) duas raízes reais diferentes
c) duas raízes reais
d) não tenha raíz real
7) Seja a função f(x) = ax2 + bx + c, representada pelo gráfico abaixo. Determine:
a) as raízes
b) as coordenadas do vértice;
c) o conjunto imagem;
d) o valor máximo;
e) a variação de sinal;
f) f(-3);
g) o intervalo que é crescente e decrescente.
8) Dada a função f(x) = (2m - 8)x2 +4x -19, calcule m para que se tenha:
a) a concavidade do gráfico da parábula voltada para cima
b) a concavidade do gráfico da parábula voltada para baixo
9 Calcule:
a) k para que a função f(x) = (3k - 12)x2 -3x + 7 não seja do 2º grau
b) Σ para que a função f(x) = 2x2 + (-Σ +3)x + 18 tenha raízes opostas
c) ω para que f(x) = 5x2 + 12x + (9 -3ω) tenha uma raíz nula
d) Ψ para que f(x) = (4Ψ - 8)x2 -3x + 12) tenha raízes inversas
10) Para a função f(x) = x2 - 7x + 10, detemine:
a) os coeficientes
b) as raízes
c) as coordfenadas do vértice
d) o gráfico
e) o valor mínimo
f) o conjunto imagem
g) o estudo de sinal
11) Para a função f(x) = -x2 +10x - 16, determine:
a) os coeficientes
b) as raízes
c) as coordfenadas do vértice
d) o gráfico
e) o valor máximo
f) o conjunto imagem
g) o estudo de sinal
12) O gráfico da função f(x) = ax2 + bx + c passa pelos pontos A(0,3), B(1,0) e C(2,-1). Determine:
a) os coeficientes
b) as raízes
c) as coordfenadas do vértice
d) o gráfico
e) o valor mínimo
f) o conjunto imagem
g) o estudo de sinal
h) f(-3)
13) O gráfico da função f(x) = x2 - 6x + Σ passa pelo ponto P(1,3), determine:
a) os coeficientes
b) as raízes
c) as coordenadas do vértice
d) o gráfico
e) o valor mínimo
f) o conjunto imagem
g) o estudo de sinal
h) f(-1) + f(3) - 2f(1)
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